你可能对极限有很好的直观理解。f(x)的极限是指当x接近a时，f(x)接近的值。在更一般的意义上，当输入接近一个值时，函数也接近一个极限值。
虽然这种直觉很好，但在证明中是不适用的。我们需要一个精确的定义来说明接近某物的含义。经过几个世纪的思考，魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）想出了这样一个定义：极限的epsilon-delta定义。
定义
如果我们要将这个定义形式化，有很多情况，但现在只关注两种情况（稍后会推广它们）：有限极限和无限极限。对于有限的双边极限，有：
D是f(x)的定义域。对于无限极限，有：
对于负无穷大的极限，用x<-N代替x>N。
定义中的符号
逻辑等价性
这意味着P和Q在逻辑上是等同的。也就是说，P和Q同时为真或同时为假。如果想证明P，那么你可以证明Q，反之亦然。在极限定义中，这意味着，如果：
等同于：
全称量词
上面表达式的意思是，S的每个元素（表示为k）都将满足后面的条件。你可以把它看作是对那些不相信你接下来要说的话的人的一种挑战。"你不相信我？挑选S中的任何元素，称其为k，k将满足这个右边的一切条件。"
定义中全称量词的两个实例是：
第一个表达式意味着你可以选择任何你想要的正数。第二个表达式意味着你可以在f(x)的定义域中选择任何元素。
存在量词
这个表达式的意思是，在S中至少有一个元素k，使得后面的一切都为真。我们经常需要证明这样一个k的存在，包括在证明极限时。
定义中存在量词的唯一实例是：
当它与前面的陈述结合时，意味着你至少可以说出一个正数，这样无论你为选择什么样的正值，其余的陈述都是真的。
意味着
这个表达式意味着，如果P是真的，那么Q就是真的。典型的例子是 "如果你在雨中行走，那么你会被淋湿"，这句话看起来像：
请注意，如果这句话是真的，那么就有三种可能性：
- 你在雨中行走，你会被淋湿。
- 你不在雨中行走，你就不会被淋湿。
- 你没有在雨中行走，但你被淋湿了（例如，你掉进了游泳池或被洒水器喷到）。
这句话唯一可能是假的，那就是你能在雨中行走，但你没有被淋湿。举个例子很重要，因为有些人把“意味着”和逻辑上的等同性混为一谈。两者之间最大的区别是，在“意味着”情况下，P可以是假的，Q可以是真的，但逻辑上的等价关系却不能。
定义中唯一的“意味着”：
表示如果x在a的距离内（但不等于a），那么f(x)在L的距离内。
归纳起来
说：
等于说对于任何一个正值的 ：
我们可以找到至少一个正值的：
这样，对于定义域D内的任何值x：
(0 < x - a | < ）意味着（| f(x) - L | < ）。
如何证明极限
很多老师或教科书都会止步于此，不告诉你如何把这个定义用于任何情况。我们可以把这个定义提炼成一套一般的步骤，可以按照这些步骤来证明极限。
有限极限
- 选择一个任意的>0的值。在这种情况下，这意味着我们把当作一个变量。
- 对x求解不等式| f(x) - L| < 。
- 你应该得到类似m(, a) < x < n(, a)的结果，其中m(, a)和n(, a)是包含和a的表达式。
- 是两个值中较小的一个| m(, a) - a |和| n(, a) - a |。
无限极限
- 选一个任意的>0的值。在这种情况下，这意味着我们把当作一个变量。
- 求解N的不等式| f(x) - L| < 。
- 你应该得到类似N>g(, x)的结果，其中g(, x)是一个包含和x的表达式。
一个简单的例子
首先，我们把当作一个任意的变量，然后解以下关于x的不等式：
m(, 5) = 5 - / 2，n(, 5) = 5 + / 2。请注意，如果我们想从分子和分母中取消（x - 5），x不能等于5。幸运的是，对于极限来说，x永远不需要。现在，我们计算上面的两个值，需要确定一个的值。
这两个值是相等的，所以我们可以选择 = / 2，这就完成了。当然，如果愿意，我们可以选择更小的，例如， / 3或 / π。
极限的一般定义
有几种类型的极限：
- 有限的极限
- 左极限
- 右极限
- 正无穷大时的极限
- 负无穷大时的极限
- 级数的极限
- 高维的极限
每个都有一个定义，但定义本身是非常相似的。所有这些都有一些一般的想法。问题在于，每一个极限都在接近极值的方式上有所不同，它们需要不同的定义。