1、圆

1)标准形式圆形

(1)标准形式圆形的曲线图


(2)标准形式圆形的方程式

A、角坐标方程

圆心O(0,0),半径 R


B、极坐标方程

ρ=R,(参见一般形式的极坐标方程;圆心O(ρ=0))


C、参数方程

(3)标准形式圆形的定义与特性

与定点等距离的动点轨迹


2)一般形式圆形

(1)一般形式圆形的曲线图


(2)一般形式圆形的方程式

A、直角坐标方程


直角坐标方程(圆心O'(a,b) ,半径 R)


B、极坐标方程


极坐标方程(圆心O'(ρ0,θ0),半径R)


C、参数方程


参数方程(半径 R)


(3)一般形式圆形的定义与特性

与定点等距离的动点轨迹


2、椭圆

1)椭圆的曲线图



2)椭圆的方程式

A、直角坐标方程



B、极坐标方程


(极点在椭圆中心O点)


C、参数方程


D、准线


3)椭圆的定义与特性

动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之和为一常数时,P点的轨迹

备注:

2a——长轴(A1A2)

2b——短轴(B1B2)

2c——焦距(F1F2)


e——离心率

e愈大,椭圆愈扁平


顶点:A1(-a,0)

A2(a,0)

B1(0,-b)

B2(0,b)


焦点:F1(-c,0)

F2(c,0)


焦点半径:

r1=PF1,r2=PF2

r1=a-ex,r2=a+ex


3、双曲线

1)双曲线的曲线图



2)双曲线的方程式

(1)直角坐标方程


(2)极坐标方程

(极点在双曲线中心O点)

(3)参数方程

(4)准线


(5)渐近线


3)双曲线的定义与特性

动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之差为一常数时,P点的轨迹


备注:

(1) 2a——实轴(两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。)

(2) 2b——虚轴(在标准方程中令x=0,得y²=-b²,该方程无实根,为便于作图,在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴。)

(3) 2c——焦距(双曲线的两焦点之间的距离称为焦距,用2c表示。)

(4) e——离心率

e愈小,渐近线与x轴的夹角愈小


(5) 顶点:

A1(-a,0),A2(a,0)

B1(0,-b),B2(0,b)

B1、B2叫虚顶点


(6) 焦点:F1(-c,0)

F2(c,0)


(7) 焦点半径:

r1=PF1,r2=PF2

r1=±(ex-a),

r2=±(ex+a)


4、抛物线

1)抛物线的曲线图



2)抛物线的方程式

(1)直角坐标方程

(2)极坐标方程

(极点在抛物线顶点O点)

(3)参数方程

(4)准线


3)抛物线的定义与特性

动点P到一定点F(焦点)和一定直线l ( 准线)的距离相等时,动点P的轨迹(︱PF︱=︱PQ︱)

4)备注

(1)离心率e=1

(2)顶点O(0,0)

(3)焦点

p——焦点至准线的距离,p 愈大抛物线开口愈大,p称为焦参数,p>0开口向右,p<0开口向左

(4)焦点半径:r=PF


5、渐开线

1)渐开线的曲线图



2)渐开线的方程式

(1)极坐标方程

R——基圆半径 α——压力角

(2)参数方程

R——基圆半径 α——压力角

3)渐开线的定义与特性

一动直线m(发生线)沿一定圆O(基圆)作无滑滚动时,m上任意点(如起始切点A)的轨迹。用于齿形等


6、阿基米德螺线(等进螺线)

1)阿基米德螺线(等进螺线)的曲线图


2)阿基米德螺线(等进螺线)的方程式

极坐标方程:ρ=αθ

说明:

θ——极角

ρ——极径

O——极点

极点到曲线上任一点的弧长为


3)阿基米德螺线(等进螺线)的定义与特性

动点沿着等速旋转(角速度ω)的圆的半径,作等速直线运动(线速度υ)此动点轨迹为阿基米德螺线。用于凸轮等


7、对数螺线(等角螺线)

1)对数螺线(等角螺线)的曲线图


2)对数螺线(等角螺线)的方程式

极坐标方程:

(m,a为常数,均大于零)


(m,a为常数,均大于零)

说明:

θ——极角

ρ——极径

α——极径与切线(动点运动方向)间的夹角


曲线上任意两点间的弧长为



3)对数螺线(等角螺线)的定义与特性

动点的运动方向始终与极径保持定角α的动点轨迹。用于涡轮叶片等。用对数螺线作为成型铲齿铣刀铲背的轮廓线时,前角恒定不改变


8、圆柱螺旋线

1)圆柱螺旋线的曲线图



2)圆柱螺旋线的方程式

参数方程


(右旋为“+”,左旋为“-”)

说明:

r——圆柱底半径

β——螺旋角

h——导程

h=2πrcotβ

L——一个导程的弧长



3)圆柱螺旋线的定义与特性

圆柱面上的动点M绕定轴z以等角速ω回转,同时沿z轴以等速υ平移,其动点轨迹就是圆柱螺旋线。用于弹簧等


9、圆锥螺旋线

1)圆锥螺旋线的曲线图



2)圆锥螺旋线的方程式

参数方程

x=ρsinαcosθ

y=ρsinαsinθ

z=ρcosα

ρ=aθ

(a——常数;α——半锥角)


3)圆锥螺旋线的定义与特性

特性:

(1)等螺距:h=2πacosα

(2)切角与锥面母线夹角β


10、圆锥对数螺旋线

1)圆锥对数螺旋线的曲线图



2)圆锥对数螺旋线的方程式

参数方程:

α——半锥角 ; ρ0,β——常数


3)圆锥对数螺旋线的定义与特性

1.不等螺距

2.切线与锥面母线夹角为定角β


11、外摆线

1)外摆线的曲线图



2)外摆线的方程式

参数方程:


说明:

a——基圆半径

b——滚圆半径

θ——公转角

θ1——自转角

l=O1P,当

l=b,为普通摆线Г

l>b,为长幅摆线Г2

l<b,为短幅摆线Г1



3)外摆线的定义与特性

滚动圆 O1,沿基圆 O外部相切滚动,滚动圆上某点P(或圆外P",圆内P')的轨迹

当内外摆线的a → ∞时,摆线转化为平摆线,当b→∞时,摆线转化为圆的渐开线


12、内摆线

1)内摆线的曲线图


2)内摆线的方程式

参数方程:

3)内摆线的定义与特性

滚动圆O1在基圆O内部相切滚动,滚动圆上某点P(或圆外P",圆内P')的轨迹


13、平摆线

1)平摆线的曲线图



2)平摆线的方程式

参数方程:

x=bt-lsint

y=b-lcost

说明:

曲率半径=2PM

一拱弧长=8b

l=O1P,当

l=b,为普通平摆线

l>b,为长幅平摆线

l<b,为短幅平摆线


3)平摆线的定义与特性

定圆沿定直线滚动,圆周上(或圆外,圆内)一点的轨迹


14、悬链线

1)悬链线的曲线图



2)悬链线的方程式

直角坐标方程:

a——正常数,即距离OA。在顶点附近近似于抛物线:

3)悬链线的定义与特性

两端悬吊的密度均匀的完全柔软曲线,在重力作用下的自然状态所构成的曲线